\( \sec^3 x \) 的积分

推导与计算

使用分部积分法求下列积分：

\[ \int \sec^3 x \, dx \]

分部积分法公式表达如下：

\[ \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \]

令 \( v = \sec x \) 且 \( u' = \sec^2 x \)；因此 \( u = \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) 且 \( v' = \sec x \tan x \)。应用该公式：

\[ \begin{aligned} \int \sec^3 x \, dx &= \int \sec^2 x \cdot \sec x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan x \sec x \cdot \tan x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan^2 x \sec x \, dx \qquad (I) \end{aligned} \]

使用三角恒等式 \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) 来改写积分：

\[ \begin{aligned} \int \tan^2 x \sec x \, dx &= \int (\sec^2 x - 1)\sec x \, dx \\[6pt] &= \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \end{aligned} \]

将其代回方程 (I) 中：

\[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \left( \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \right) \] \[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx \]

在方程两边同时加上 \( \displaystyle \int \sec^3 x \, dx \) 并化简：

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \int \sec x \, dx \]

使用标准积分公式 \( \displaystyle \int \sec x \, dx = \ln|\tan x + \sec x| \)：

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \ln|\tan x + \sec x| \]

将所有项除以 \( 2 \) 并加上积分常数 \( c \)，得到最终答案：